PERSAMAAN LINGKARAN - RUMUS, CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

PENGERTIAN LINGKARAN

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu pada bidang datar.

Titik yang dimaksud dari pengertian tersebut ialah pusat lingkaran dan jarak yang dimaksud ialah jari-jari.

PERSAMAAN LINGKARAN

1.  Persamaan lingkaran yang pusatnya (0,0) dan jari-jari itu r, bentuk persamaannya adalah :

     x2 + y2 = r2    

2.  Persamaan lingkaran yang pusatnya (a,b) dan jari-jari itu r, maka bentuk persamaannya adalah :

     (x - a)2 + (y - b)2 = r2

3.  Bentuk umum persamaan lingkaran

    x2 + y2 +Ax + Bx + C = 0 , mempunyai pusat  dan jari-jarinya                 

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN :

1.  Persamaan lingkaran berpusat di (0,0) dan berjari-jari  2 + √3  adalah...

    Jawab :

   Persamaan lingkaran berpusat di (0,0) dan berjari-jari  r memiliki persamaan x² + y² = r²

    Diketahui r = 2 + √3, maka persamaan lingkarannya adalah 

⇔ x² + y² = (2 + √3)²

⇔ x² + y² = 7 + 2 √3

2.  Persamaan lingkaran yang berpusat di (-4, 3) dan melalui titik (2, 1) adalah ...

    Pembahasan :

    Persamaan lingkaran yang pusatnya (a,b) dan jari-jari itu r, memiliki persamaan

    (x - a)2 + (y - b)2 = r2

    Diketahui pusat lingkaran (-4, 3) maka persamaan lingkarannya adalah 

    (x + 4)² + (y – 3)² = r²

    Karena lingkaran melalui titik (2, 1) maka

    (2 + 4)² + (1 – 3)² = r²

     (6)² + (– 2)² = r² 

    40 = r²

    Jadi persamaan lingkarannya adalah :  (x + 4)² + (y – 3)² = 40

3. Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik ujung diameternya  A(-1, 6) dan B(3, 2) berbentuk ....

A.      x² + y² + 2x + 8y + 9 =0

B.      x² + y² + 2x – 8y + 9 =0

C.      x² + y² – 2x – 8y – 9 =0

D.      x² + y² – 2x + 8y + 9 =0

E.       x² + y² – 2x – 8y + 9 =0

Pembahasan :

AB = Panjang diameter lingkarannya adalah jarak titik A(-1, 6) ke titik B(3, 2) 

       AB = √[(-1 – 3)² + (6 – 2)²]

        AB = √[(-1 – 6)² + (6 – 2)²]

           AB = √[(-4)² +  4²]

            = √32

            = 4√2 = diameter

     Jari-jari lingkaran r  = ½ diameter = ½ AB

                                   r = ½ 4√2 = 2√2 → r² = (2√2)² = 8

     Titik pusat P(a,b) lingkaran terletak pada titik tengah AB dan karena AB adalah diameter lingkaran  maka P( ½(-1+3), ½(6 +2)) ⇔ P(1, 4)

 Jadi persamaan lingkarannya adalah      

      ⇔ (x – 1)² + (y – 4)² = 8

      ⇔ x² – 2x + 1 + y² – 8x + 16 – 8 = 0

      ⇔ x² + y² – 2x – 8y + 9 = 0

4.  Persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran L :  x² + y² + 4x – 6y + 9 = 0 dan berjari-jari sama dengan tiga kali jari-jari  lingkaran L tersebut adalah ...

Pembahasan :

Terlebih dahulu kita mencari pusat dan jari-jari lingkaran L

Diketahui A = 4, B = - 6  dan C = -9

Pusat = (P( - ½ A, - ½ B) = P(- ½ .4, - ½ .-6) = P(-2, 3) 

Jari-jari = r = √( ¼ A² , ¼ B² – C)

            ⇔ r = √( ¼ A² + ¼ B² – C)

            ⇔ r = √[ ¼ . 4² + ¼ . (-6)² – (-9)]

            ⇔ r = √( ¼ . 16 +  ¼ . 36 – 9) = √4 = 2 

Jadi lingkaran yang dimaksud mempunyai pusat P(-2, 3) dan jari-jari r = 3 . 2 = 6 dan persamaan lingkarannya adalah :

(x + 2)² + (y – 3)² = 6²

 x² + 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 36

 x² + y² + 4x – 6y – 23 

"Semoga Bermanfaat"